diff options
| -rw-r--r-- | 00tahm.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | 0v34i2.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | 1wfa9b.md | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | 8j8ahu.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | 91x38r.md | 57 | ||||
| -rw-r--r-- | aeatae.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | b7q6jx.md | 58 | ||||
| -rw-r--r-- | bfq4hz.md | 52 | ||||
| -rw-r--r-- | bp3vpa.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | bq8b77.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | e6ulbq.md | 17 | ||||
| -rw-r--r-- | edms7d.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | gn83wo.md | 66 | ||||
| -rw-r--r-- | kwlc0c.md | 41 | ||||
| -rw-r--r-- | m8425n.md | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | mxk54q.md | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | pd4r0u.md | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | qb08si.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | rgtnil.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | tntpt0.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | u2gy2a.md | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | wi7q4o.md | 6 | ||||
| -rw-r--r-- | wk7jks.md | 42 | ||||
| -rw-r--r-- | y4xz5o.md | 46 |
24 files changed, 393 insertions, 30 deletions
@@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Сочетания -Сочетание — это выбор нескольких элементов из множества, при котором порядок **не важен**. +Сочетание - это выбор нескольких элементов из множества, при котором порядок **не важен**. $$C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Плотность распределения -Плотность распределения — это функция, которая описывает, как распределена вероятность по значениям +Плотность распределения - это функция, которая описывает, как распределена вероятность по значениям непрерывной случайной величины. Плотность является производной функции распределения: @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Случайная величина -Случайная величина — это числовая функция, которая каждому элементарному исходу случайного +Случайная величина - это числовая функция, которая каждому элементарному исходу случайного эксперимента ставит в соответствие определенное число. ## Дискретная случайная величина @@ -25,7 +25,7 @@ tags: ## Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого промежутка. -Количество возможных значений — бесконечно и несчетно. +Количество возможных значений - бесконечно и несчетно. # Up - [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Функция распределения -Функция распределения — это функция, которая показывает вероятность того, что случайная величина X +Функция распределения - это функция, которая показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого числа x. $F(x) = P(X < x)$ diff --git a/91x38r.md b/91x38r.md new file mode 100644 index 0000000..4decc54 --- /dev/null +++ b/91x38r.md @@ -0,0 +1,57 @@ +--- +id: 91x38r +date: 2026-07-25T22:22:21+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Критерий хи-квадрат Пирсона + +Критерий хи-квадрат Пирсона - статистический критерий, основанный на распределении $\chi^2$. Он +используется для проверки различных статистических гипотез, прежде всего: +- проверки согласия - соответствует ли выборка заданному распределению +- проверки независимости двух признаков +- проверки однородности нескольких выборок + +Главная идея одна: сравнить наблюдаемые частоты с частотами, которые ожидались бы при справедливости +$H_0$. + +## Критерий согласия +Пусть наблюдения разбиты на k категорий. + +Для каждой категории имеем: +- $O_i$ - наблюдаемое число объектов +- $E_i$ - ожидаемое число объектов при справедливости $H_0$ + +Тогда статистика Пирсона: +$\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ + +Для проверки гипотезы находим критическое значение в соответствии с количеством степеней свободы: +$\nu = k - 1$ +Сравниваем статистику Пирсона с критическим значением: +$\chi^2 < \chi^2_{\alpha,\nu}$ +Если условие выполнено - нет оснований отвергать гипотезу $H_0$. + +## Критерий независимости двух признаков +Критерий хи-квадрат также позволяет определить, связаны ли два категориальных признака. + +Если признаки независимы, ожидаемая частота ячейки: +$E_{ij} = \frac{n_i n_j}{n}$ +n_i - сумма в строке +n_j - сумма в столбце +n - общее количество наблюдений + +Статистика Пирсона: +$\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$ + +Для проверки гипотезы находим критическое значение в соответствии с количеством степеней свободы: +$\nu = (r-1)(c-1)$ + + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Комбинаторика -Комбинаторика — это раздел математики, изучающий способы подсчета количества различных вариантов +Комбинаторика - это раздел математики, изучающий способы подсчета количества различных вариантов выбора и расположения объектов. Основные понятия: перестановки, размещения и сочетания. # Up diff --git a/b7q6jx.md b/b7q6jx.md new file mode 100644 index 0000000..1dc031c --- /dev/null +++ b/b7q6jx.md @@ -0,0 +1,58 @@ +--- +id: b7q6jx +date: 2026-07-25T21:15:31+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Доверительные интервалы + +Доверительный интервал - это интервал, построенный по выборке, который с заданным уровнем доверия +используется для оценки неизвестного параметра генеральной совокупности. + +Часто используются следующие три доверительные вероятности: 90%, 95% и 99%. + +Общая форма доверительного интервала: +$\hat{\theta} - \Delta < \theta < \hat{\theta} + \Delta$ +Величина $\Delta$ называется предельной ошибкой. + +Доверительные интервалы строят для величин, которые подчиняются нормальному закону распределения, +распределению хи-квадрат или распределению Стьюдента. + + +Далее для всех примеров будет считаться, что случайная величина подчиняется нормальному закону +распределения, для простоты нахождения доверительных интервалов её параметров. +$X \sim N(\mu; \sigma^2)$ + +## Доверительный интервал для математического ожидания +### Если дисперсия известна +$\frac{X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0; 1)$ +Поэтому доверительный интервал: +$\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2} +\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ + +### Если дисперсия неизвестна +$\frac{X - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}$ +Поэтому доверительный интервал: +$\bar{X} - t_{n-1,\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{n-1,\alpha/2} +\frac{S}{\sqrt{n}}$ + +## Доверительный интервал для дисперсии +### Если мат. ожидание известно +$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n}$ +Поэтому доверительный интервал: +$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n,1-\alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - +\mu)^2}{\chi^2_{n,\alpha/2}}$ + +### Если мат. ожидание неизвестно +$\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ +Поэтому доверительный интервал: +$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}$ + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) diff --git a/bfq4hz.md b/bfq4hz.md new file mode 100644 index 0000000..1823c00 --- /dev/null +++ b/bfq4hz.md @@ -0,0 +1,52 @@ +--- +id: bfq4hz +date: 2026-07-25T22:10:07+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Проверка гипотез + +Проверка статистических гипотез - это раздел математической статистики, в котором по выборке +принимают решение о том, согласуются ли данные с некоторым предположением о генеральной +совокупности. + +Статистическая гипотеза - предположение о неизвестном распределении или его параметрах. +Обычно формулируются две гипотезы: +- Нулевая $H_0$ - основное проверяемое предположение +- Альтернативная $H_1$ - принимается, если данные противоречат нулевой гипотезе + +Чтобы проверить гипотезу, строят статистический критерий - функцию от результатов выборки: +$T = T(X_1, ..., X_n)$ +Распределение T известно при условии справедливости $H_0$. +По значению T принимается решение относительно $H_0$. + +Все возможные значения статистики T разделяют на две области: +- область принятия $H_0$ +- критическая область +Если полученное значение статистики попало в критическую область, то мы отвергаем $H_0$. +Если не попало: нет оснований отвергать $H_0$. + +При проверке гипотез возможны две ошибки. +## Ошибка I рода +Отвергли правильную $H_0$. +Уровень значимости $\alpha$ - вероятность ошибки первого рода. + +## Ошибка II рода +Приняли неправильную $H_1$. +Вероятность обозначается $\beta$. +Величина $1-\beta$ называется мощностью критерия. + +## p-значение +Один из наиболее распространённых способов проверки гипотезы - вычисление p-значения. + +p-значение - вероятность получить наблюдаемое или ещё более экстремальное значение статистики при +условии, что $H_0$ верна. + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) @@ -22,7 +22,7 @@ tags: Элементарный исход - один из возможных результатов испытания. Например, при броске кубика множество исходов: $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ -Каждое число — элементарный исход. +Каждое число - элементарный исход. Вероятность события - показывает, насколько вероятно наступление события. $0 \le P(A) \le 1$ @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Генерация случайной величины произвольного закона распределения -Генерация случайной величины — это получение числовых значений, подчинённых заданному закону +Генерация случайной величины - это получение числовых значений, подчинённых заданному закону распределения. На практике обычно используют генератор равномерно распределённых случайных чисел, а затем @@ -12,7 +12,8 @@ tags: --- # Теория вероятностей и математическая статистика -Теория вероятностей изучает случайные события и закономерности их появления при многократном повторении опытов. +Теория вероятностей изучает случайные события и закономерности их появления при многократном +повторении опытов. # Up - [Вступительные экзамены в магистратуру](wf8w22) @@ -37,10 +38,10 @@ tags: - [Характеристики положения](wi7q4o) - [Генерация случайной величины произвольного закона распределения](bq8b77) -- Математическая статистика -- Точечные и интервальные оценки -- Метод моментов -- Метод максимального правдоподобия -- Доверительные интервалы -- Проверка гипотез -- Критерий хи-квадрат +- [Математическая статистика](wk7jks) +- [Точечные и интервальные оценки](gn83wo) +- [Метод моментов](y4xz5o) +- [Метод максимального правдоподобия](kwlc0c) +- [Доверительные интервалы](b7q6jx) +- [Проверка гипотез](bfq4hz) +- [Критерий хи-квадрат Пирсона](91x38r) @@ -74,7 +74,7 @@ $M(X) = \frac{a+b}{2}$ $D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ ### Нормальное распределение -Нормальное распределение — одно из важнейших распределений в статистике. +Нормальное распределение - одно из важнейших распределений в статистике. Оно описывает величины, на которые влияет большое количество независимых факторов. Оно полностью определяется двумя параметрами: - $\mu$ - математическое ожидание diff --git a/gn83wo.md b/gn83wo.md new file mode 100644 index 0000000..7a3dc70 --- /dev/null +++ b/gn83wo.md @@ -0,0 +1,66 @@ +--- +id: gn83wo +date: 2026-07-25T20:35:08+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Точечные и интервальные оценки + +В математической статистике обычно неизвестны параметры генеральной совокупности, и по выборке +необходимо оценить эти параметры. + +Существуют два основных вида оценок: +- точечные - одно число +- интервальные - диапазон возможных значений + +## Точечная оценка +Точечная оценка $\hat{\theta}$ - это функция от выборки, которая используется для приближённого +определения неизвестного параметра генеральной совокупности. + +Например, если неизвестно математическое ожидание $\mu$, то естественной оценкой является +выборочное среднее: +$\hat{\mu} = \bar{X}$ + +Основные точечные оценки: +- математическое ожидание - выборочное среднее +- дисперсия - несмещённая оценка дисперсии + +## Свойства хороших оценок + +### Несмещённость +Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно истинному параметру: +$M(\hat{\theta}) = \theta$ + +### Состоятельность +Оценка является состоятельной, если при увеличении объёма выборки она стремится к истинному +значению: +$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ + +### Эффективность +Если существуют несколько несмещённых оценок одного параметра, предпочтительнее та, которая имеет +меньшую дисперсию. +$D(\hat{\theta}_1) < D(\hat{\theta}_2)$ + +## Интервальная оценка +Точечная оценка имеет недостаток: она не показывает точность оценки. +Поэтому используют интервальную оценку. +Она имеет вид: +$\theta \in [\theta_1; \theta_2]$ + +## Доверительный интервал +Интервальная оценка обычно строится с заданной доверительной вероятностью $\gamma$: +$P(\theta_1 < \theta < \theta_2) = \gamma$ +Это определение не совсем корректное, так как вероятность не показывает, что фиксированный параметр +уже находится внутри. + +Интервальная оценка - диапазон, который с заданной доверительной вероятностью покрывает неизвестный +параметр. + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) diff --git a/kwlc0c.md b/kwlc0c.md new file mode 100644 index 0000000..19a0a7e --- /dev/null +++ b/kwlc0c.md @@ -0,0 +1,41 @@ +--- +id: kwlc0c +date: 2026-07-25T21:04:56+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Метод максимального правдоподобия + +Метод максимального правдоподобия (ММП) - один из основных методов точечного оценивания неизвестных +параметров распределения по выборке. + +Выбираем такие значения неизвестных параметров, при которых наблюдаемая выборка является наиболее +вероятной. + +## Функция правдоподобия +Пусть дана выборка и известно, что случайные величины имеют распределение, зависящее от неизвестного +параметра $\theta$. + +Тогда для конкретных наблюдений $x_i$ функция правдоподобия равна: +$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta)$ +$f(x_i; \theta)$ - плотность распределения + +Если величина дискретная, то вместо плоности используется вероятность: +$L(\theta) = \prod_{i=1}^n P(X = x_i)$ + +Оценкой максимального правдоподобия называется такое значение параметра, при котором функция +максимального правдоподбия максимальна. + +## Логарифмическая функция правдоподобия +На практике удобнее максимизировать логарифм правдоподобия (потому что вместо произведения получаем +сумму). +$l(\theta) = \ln L(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln f(x_i; \theta)$ + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) @@ -17,8 +17,8 @@ tags: Совместные события могут произойти одновременно. При броске кубика: -A — выпало четное число. -B — выпало число больше 3. +A - выпало четное число. +B - выпало число больше 3. Оба события происходят одновременно при выпадении 4 или 6. ### Несовместные события @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Числовые характеристики случайных величин -Числовые характеристики случайных величин — это численные параметры, которые позволяют описывать +Числовые характеристики случайных величин - это численные параметры, которые позволяют описывать основные свойства распределения случайной величины без полного задания её закона распределения. К основным числовым характеристикам относятся: @@ -45,7 +45,7 @@ $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$ $\sigma = \sqrt{D(X)}$ ## Моменты -Момент — это числовая характеристика, связанная со степенью отклонения случайной величины. +Момент - это числовая характеристика, связанная со степенью отклонения случайной величины. ### Начальный момент Начальный момент порядка k: @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Существенные и фиктивные аргументы функции алгебры логики -Существенный аргумент — это переменная, изменение которой хотя бы для одного набора остальных +Существенный аргумент - это переменная, изменение которой хотя бы для одного набора остальных переменных изменяет значение функции. Определение: аргумент $x_i$ является существенным, если существуют такие значения остальных @@ -20,7 +20,7 @@ tags: $f(..., x_i = 0, ...) \ne f(..., x_i = 1, ...)$ -Фиктивный (несущественный) аргумент — это переменная, изменение которой никогда не влияет на +Фиктивный (несущественный) аргумент - это переменная, изменение которой никогда не влияет на значение функции. Определение: аргумент $x_i$ является фиктивным, если @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Ряды распределения -Ряд распределения — это способ задания закона распределения случайной величины, при котором каждому +Ряд распределения - это способ задания закона распределения случайной величины, при котором каждому возможному значению случайной величины ставится в соответствие его вероятность. Ряды распределения используются в основном для **дискретных** случайных величин. @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Перестановки -Перестановка — это способ расположить все элементы множества в определенном порядке. +Перестановка - это способ расположить все элементы множества в определенном порядке. Если имеется n различных элементов, число перестановок: $$P_n = n!$$ @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Схема Бернулли -Схема Бернулли — это модель проведения серии одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых +Схема Бернулли - это модель проведения серии одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: - успех (событие A); - неудача (противоположное событие A). @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Размещения -Размещение — это выбор нескольких элементов из множества, при котором порядок **важен**. +Размещение - это выбор нескольких элементов из множества, при котором порядок **важен**. $$A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}$$ @@ -12,7 +12,7 @@ tags: --- # Характеристики положения -Характеристики положения — это числовые характеристики, которые описывают центральное (типичное) +Характеристики положения - это числовые характеристики, которые описывают центральное (типичное) значение распределения случайной величины. К основным характеристикам положения относятся: @@ -21,7 +21,7 @@ tags: - медиана ## Мода -Мода — это значение случайной величины, которое встречается наиболее часто или имеет наибольшую +Мода - это значение случайной величины, которое встречается наиболее часто или имеет наибольшую вероятность. Распределение может быть: @@ -30,7 +30,7 @@ tags: 3. Без моды ## Медиана -Медиана — это такое значение случайной величины, которое делит распределение на две равные части. +Медиана - это такое значение случайной величины, которое делит распределение на две равные части. # Up - [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) diff --git a/wk7jks.md b/wk7jks.md new file mode 100644 index 0000000..ceaf808 --- /dev/null +++ b/wk7jks.md @@ -0,0 +1,42 @@ +--- +id: wk7jks +date: 2026-07-25T20:28:46+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Математическая статистика + +Математическая статистика - раздел математики, изучающий методы сбора, обработки, анализа и +интерпретации данных, полученных в результате наблюдений или экспериментов. + +Генеральная совокупность - все объекты или результаты, которые потенциально относятся к +исследованию. + +Выборка - конечное количество наблюдений, взятых из генеральной совокупности. + +Если значения выборки расположить в порядке возрастания: получается вариационный ряд. + +## Выборочное среднее +Аналог математического ожидания для выборки: +$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ + +Выборочное среднее используется для оценки математического ожидания. + +## Выборочная дисперсия +$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ + +### Несмещённая выборочная дисперсия +$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ + +## Эмпирическая функция распределения +$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i < x)$ +I - индикатор + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) diff --git a/y4xz5o.md b/y4xz5o.md new file mode 100644 index 0000000..b66676e --- /dev/null +++ b/y4xz5o.md @@ -0,0 +1,46 @@ +--- +id: y4xz5o +date: 2026-07-25T20:52:12+0300 +languages: [ru] +aliases: + +reviews: + +tags: +- draft +- knowledge +--- +# Метод моментов + +Метод моментов - один из методов точечного оценивания неизвестных параметров распределения по +выборке. + +Теоретические моменты распределения приравниваются к соответствующим выборочным моментам, после чего +полученная система решается относительно неизвестных параметров. + +Достоинства: +- метод простой +- часто легко вычисляется + +Недостатки: +- оценки могут быть смещёнными +- оценки не всегда эффективны +- для некоторых распределений система уравнений может быть достаточно сложной + +## Основная идея +Предположим, что закон распределения зависит от `r` неизвестных параметров: +$\theta_1, \theta_2, ..., \theta_r$ + +Находим первые r теоретических моментов: +$m_k = M(X^k) = g_i(\theta_1, ..., \theta_r)$ +Находим первые r выборочных моментов: +$\hat{m}_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ +Затем приравниваем теоретические моменты к выборочным и решаем полученную систему относительно +параметров. + +Полученные значения +$\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, ..., \hat{\theta}_r$ +являются оценками методом моментов. + +# Up +- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq) |