---
id: b7q6jx
date: 2026-07-25T21:15:31+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Доверительные интервалы

Доверительный интервал - это интервал, построенный по выборке, который с заданным уровнем доверия 
используется для оценки неизвестного параметра генеральной совокупности.

Часто используются следующие три доверительные вероятности: 90%, 95% и 99%.

Общая форма доверительного интервала:
$\hat{\theta} - \Delta < \theta < \hat{\theta} + \Delta$
Величина $\Delta$ называется предельной ошибкой.

Доверительные интервалы строят для величин, которые подчиняются нормальному закону распределения, 
распределению хи-квадрат или распределению Стьюдента.


Далее для всех примеров будет считаться, что случайная величина подчиняется нормальному закону 
распределения, для простоты нахождения доверительных интервалов её параметров.
$X \sim N(\mu; \sigma^2)$

## Доверительный интервал для математического ожидания
### Если дисперсия известна
$\frac{X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0; 1)$
Поэтому доверительный интервал:
$\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2} 
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

### Если дисперсия неизвестна
$\frac{X - \mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t_{n-1}$
Поэтому доверительный интервал:
$\bar{X} - t_{n-1,\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + t_{n-1,\alpha/2} 
\frac{S}{\sqrt{n}}$

## Доверительный интервал для дисперсии
### Если мат. ожидание известно
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n}$
Поэтому доверительный интервал:
$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\chi^2_{n,1-\alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - 
\mu)^2}{\chi^2_{n,\alpha/2}}$

### Если мат. ожидание неизвестно
$\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$
Поэтому доверительный интервал:
$\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}$

# Up
- [Теория вероятностей и математическая статистика](e6ulbq)