---
id: suelaw
date: 2026-07-26T21:17:36+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Уравнения прямых и плоскостей в пространстве

## Уравнения прямых в пространстве
### Параметрическое уравнение прямой
$\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct\end{cases}$
где $t \in R$

### Каноническое уравнение прямой
Из параметрического уравнения можно исключить t:
$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$
В данной форме, $(a, b, c)$ - направляющий вектор.

### Задачи на уравнения прямой
Задачи на уравнения прямой в пространстве схожи с задачами на плоскости.

## Уравнения плоскостей в пространстве
### Общее уравнение плоскости
$Ax + By + Cz + D = 0$
(A, B и C не равны нулю одновременно)
Вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ - нормальный вектор плоскости

### Уравнение через точку и нормальный вектор
Если известны точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ и вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, то уравнение плоскости:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

### Уравнение через три точки
Если известны три точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ $M_2(x_2,y_2,z_2)$ $M_3(x_3,y_3,z_3)$, не лежащие на 
одной прямой, то уравнение плоскости:
$\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} = 0$

### Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси координат в точках $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$
и $(0, 0, c)$, то уравнение плоскости имеет вид:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

### Уравнение через точку и два направляющих вектора
Заданы $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и два вектора $\vec{p} = (l_1,m_1,n_1)$, $\vec{q} = (l_2,m_2,n_2)$.
В таком случае плоскость можно задать с помощью параметрического уравнения плоскости:
$\begin{cases}x = x_0 + l_1 t + l_2 s \\ y = y_0 + m_1 t + m_2 s \\ z = z_0 + n_1 t + n_2 
s\end{cases}$
где $t, s \in R$

### Нормальное уравнение плоскости
$x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$
p - длина перпендикуляра из начала координат на плоскость
\alpha, \beta, \gamma - углы единичного вектора, имеющего направление перпендикуляра

### Взаимное расположение прямой и плоскости
Для этого анализируем взаимное расположение прямой и нормального вектора плоскости.

### Взаимное расположение двух плоскостей
Для этого анализируем взаимное расположение нормальных векторов плоскости.

# Up
- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)

# Related
- [Уравнения прямых на плоскости](bizlko)