snapshot: 2026-07-26

1 files changed, 67 insertions, 0 deletions

diff --git a/c3yck8.md b/c3yck8.md
new file mode 100644
index 0000000..e34bf80
--- /dev/null
+++ b/c3yck8.md
@@ -0,0 +1,67 @@
+---
+id: c3yck8
+date: 2026-07-26T19:24:32+0300
+languages: [ru]
+aliases:
+
+reviews:
+
+tags:
+- draft
+- knowledge
+---
+# Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
+
+## Скалярное произведение
+Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
+$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$
+где $\alpha$ - угол между векторами
+
+
+В координатах скалярное произведение определено как:
+$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
+
+Скалярное произведение позволяет найти угол между двумя векторами:
+$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
+
+Если скалярное произведение двух векторов равно нулю - они перпендикулярны.
+
+## Векторное произведение
+Векторным произведением двух векторов называется вектор
+$\vec{a} \times \vec{b}$
+который:
+- перпендикулярен a
+- перпендикулярен b
+- направлен по правилу правой руки
+
+Длина вектора векторного произведения равна
+$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \alpha$
+
+$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y 
+& b_z \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - \vec{j} 
+\begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x & b_z\end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & 
+b_y\end{vmatrix}$
+
+Длина векторного произвещения равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.
+
+Если векторное произведение равно нулевому вектору - векторы коллинеарны.
+
+Векторное произведение антикоммутативно.
+
+## Смешанное произведение
+Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное
+$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$
+
+Смешанное произведение можно вычислить как определитель:
+$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z 
+\end{vmatrix}$
+$ = c_x \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - c_y \begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x & 
+b_z\end{vmatrix} + c_z \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix}$
+
+Абсолютное значение смешанного произведения равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх 
+векторах.
+
+Если три вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то смешанное произведение равно нулю.
+
+# Up
+- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)