snapshot: 2026-07-26

1 files changed, 75 insertions, 0 deletions

diff --git a/mad3hd.md b/mad3hd.md
new file mode 100644
index 0000000..1565110
--- /dev/null
+++ b/mad3hd.md
@@ -0,0 +1,75 @@
+---
+id: mad3hd
+date: 2026-07-26T21:58:01+0300
+languages: [ru]
+aliases:
+
+reviews:
+
+tags:
+- draft
+- knowledge
+---
+# Вычисление расстояний и углов между точками, прямыми и плоскостями в пространстве
+
+## Расстояние между двумя точками
+$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
+
+## Расстояние от точки до плоскости
+$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
+
+## Расстояние от точки до прямой на плоскости
+$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
+
+## Расстояние от точки до прямой в пространстве
+Воспользуемся свойством векторного произведения: оно равно площади параллелограмма, построенного 
+двумя векторами a и b.
+
+Если нам дана точка $M_0$ от которой надо найти расстояние до прямой, заданной направляющим 
+вектором и точкой, лежащей на ней ($\vec{s}$ и $M_1$), то можно использовать векторное произведение:
+$S = |\vec{M_0 M_1} \times \vec{s}|$
+$S = |\vec{s}| d$
+
+$d = \frac{|\vec{M_0 M_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$
+
+## Расстояние между двумя параллельными прямыми
+Обе прямые имеют общий направляющий вектор s.
+Находим по одной точке от каждой прямой, и пользуемся расстоянием от точки до прямой в пространстве.
+
+## Расстояние между скрещивающимися прямыми
+$l_1 : \vec{r} = \vec{r}_1 + t \vec{a}$
+$l_2 : \vec{r} = \vec{r}_2 + s \vec{b}$
+r1 и r2 - точки на прямых l1 и l2 соответственно
+
+
+$d = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)]}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$
+
+## Угол между векторами
+С помощью скалярного произведения можно найти косинус угла между векторами.
+
+## Угол между прямыми
+Прямые задаются с помощью направляющего вектора.
+Находим угол между двумя направляющему векторами.
+
+## Угол между двумя плоскостями
+Плоскости задаются нормальными векторами.
+Находим угол между двумя нормальными векторами.
+
+## Угол между прямой и плоскостью
+Прямая задаётся направляющим вектором.
+Плоскость задаётся нормальным вектором.
+Находим угол между этими двумя векторами.
+
+Важно учесть, что это угол между нормалью и прямой.
+Поэтому надо работать либо с синусом в формуле, либо находить дополнительный угол (90 - \alpha).
+
+## Расстояние между параллельными плоскостями
+У параллельных плоскостей одинаковый нормальный вектор.
+Поэтому
+$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
+
+## Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
+Можно взять любую точку на прямой, и найти от неё расстояние до плоскости.
+
+# Up
+- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)